设曲线y=ax2（a＞0，x≥0）与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

Question

设曲线y=ax²（a＞0，x≥0）与y=1-x²交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax²围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

∵x≥0时，由

y＝ax2

y＝1−x2

，解得：x＝(1)/(√(1+a))，y＝(a)/(1+a)
即A的坐标为：((1)/(√(1+a))，(a)/(1+a))
∴直线OA的方程为：
y＝(ax)/(√(1+a))
∴旋转体体积为：
V=π

∫	(1)/(√(1+a)) 0

[((ax)/(√(1+a)))2−(ax2)2]dx=π

∫	(1)/(√(1+a)) 0

[(a2x2)/(1+a)−a2x4]dx＝π[(a2x3)/(3(1+a))−(a2x5)/(5)

]	(1)/(√(1+a)) 0

=(2π)/(15)•(a2)/((1+a)(5)/(2))
∴(dV)/(da)＝(2π)/(15)•(2a(1+a)(5)/(2)−a2•(5)/(2)(1+a)(3)/(2))/((1+a)5)=(π)/(15)•(4a−a2)/((1+a)(7)/(2))，（a＞0）
令(dV)/(da)＝0，得：a=4
而显然在0＜a＜4时，(dV)/(da)＞0；在a＞4时，(dV)/(da)＜0；
∴a=4是V的唯一极大值点
∴V在a=4的时候取最大值，其最大体积为：V|a＝4＝(2π)/(15)•(16)/(5(5)/(2))＝(32√(5))/(1875)π