（2010•建德市模拟）已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（1）求切线l的方程；（2）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．

Question

（2010•建德市模拟）已知a＞0，f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）∴f（0）=1
∴f'（x）=(2ax2+(2a−2)x−1)/(x+1)∴f′（0）=-1
切点p（0，1），切线l的斜率为-1∴切线l的方程：y=-x+1；
（2）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程
ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+(1)/(x+1)＝(2ax2+(2a−1)x)/(x+1)＝(2ax[x−((1)/(2a)−1)])/(x+1)
①若a=(1)/(2)，则h'（x）=(x2)/(x+1)≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜(1)/(2)，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=(1)/(2a)-1＞0

∴h((1)/(2a)−1)＜h（0）=0，而h((1)/(a))＞0
∴方程h（x）=0在((1)/(2a)−1，+∞)
上还有一解，则h（x）=0解不唯一；
③若a＞(1)/(2)，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=(1)/(2a)-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在(−1，(1)/(2a)−1)上还有一解，
则h（x）=0解不唯一
综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=(1)/(2)．