如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为．

Question

如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为___．

Answer 1

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE-DH=5-x
在Rt△CDH中，CH²=CD²-DH²=4²-x²，
在Rt△CEH中，CH²=CE²-EH²=6²-（5-x）²，
∴4²-x²=6²-（5-x）²，解得x=(1)/(2)，
在Rt△CDH中，CH=√(42-((1)/(2))2)=(3√(7))/(2)，
∴sin∠CDH=(CH)/(CD)=((3√(7))/(2))/(4)=(3√(7))/(8)，
即sin∠CDH=(3√(7))/(8)．
故答案为(3√(7))/(8)．