设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=6，若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．

Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），则实数a=______．

Answer 1

根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=(1)/(xln2)，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x₀是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-(1)/(xln2)的零点，
分析易得F（1）=-(1)/(ln2)＜0，F（2）=1-(1)/(2ln2)=1-(1)/(ln4)＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故答案为：1