求级数∞n＝1nxn-1的收敛域及和函数，并求级数∞n＝1n2n的和．

Question

求级数

∞

n＝1

nx^n-1的收敛域及和函数，并求级数

∞

n＝1

(n)/(2n)的和．

Answer 1

∵

lim

n→∞

|(an+1)/(an)|＝

lim

n→∞

(n+1)/(n)＝1，得到收敛半径为R=1．
当x=1，级数成为

∞

n＝1

n，一般项不趋于0，因此它发散．
同理，当x=-1级数也发散．
所以收敛域为（-1，1）．
令和函数为s（x）=

∞

n＝1

nxn−1，两边由0到x积分，得

∫

x 0

s(x)dx=

∞

n＝1

 xn=(x)/(1−x)，
两边对x求导，即得s(x)＝(1)/((1−x)2)，x∈(−1，1)．
取x＝(1)/(2)，则有

∞

n＝1

n((1)/(2))n−1＝(1)/((1−(1)/(2))2)＝4．
所以，

∞

n＝1

n((1)/(2))n＝(1)/(2)•4＝2．