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求级数∞n=1nxn-1的收敛域及和函数,并求级数∞n=1n2n的和.
题目详情
求级数
nxn-1的收敛域及和函数,并求级数
的和.
∞ |
![]() |
n=1 |
∞ |
![]() |
n=1 |
n |
2n |
▼优质解答
答案和解析
∵
|
|=
=1,得到收敛半径为R=1.
当x=1,级数成为
n,一般项不趋于0,因此它发散.
同理,当x=-1级数也发散.
所以收敛域为(-1,1).
令和函数为s(x)=
nxn−1,两边由0到x积分,得
s(x)dx=
xn=
,
两边对x求导,即得s(x)=
,x∈(−1,1).
取x=
,则有
n(
)n−1=
=4.
所以,
n(
)n=
•4=2.
lim |
n→∞ |
an+1 |
an |
lim |
n→∞ |
n+1 |
n |
当x=1,级数成为
∞ |
![]() |
n=1 |
同理,当x=-1级数也发散.
所以收敛域为(-1,1).
令和函数为s(x)=
∞ |
![]() |
n=1 |
∫ | x 0 |
∞ |
![]() |
n=1 |
x |
1−x |
两边对x求导,即得s(x)=
1 |
(1−x)2 |
取x=
1 |
2 |
∞ |
![]() |
n=1 |
1 |
2 |
1 | ||
(1−
|
所以,
∞ |
![]() |
n=1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
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