y的三阶导数＋y的二阶导数－2y的一阶导数＝x（e的x次幂＋4）求通解

Question

y的三阶导数＋y的二阶导数－2y的一阶导数＝x（e的x次幂＋4）求通解

Answer 1

y"'+y"-2y'=x(e^x+4)
特征方程为r³+r²-2r=0
r(r+2)(r-1)=0
得r=0, 1, -2
即齐次方程的通解为y1=C1+C2e^x+C3e^(-2x)
设特解为y*=x(ax+b)e^x+x(cx+d)
则y*'=(2ax+b+ax²+bx)e^x+2cx+d
y*"=(2a+4ax+2b+ax²+bx)e^x+2c
y*"'=(6a+6ax+3b+ax²+bx)e^x
代入方程得：(6a+6ax+3b+ax²+bx)e^x+(2a+4ax+2b+ax²+bx)e^x+2c-(4ax+2b+2ax²+2bx)e^x-4cx-2d=x(e^x+4)
化简得：(6ax+8a+3b)e^x-4cx+2c-2d=xe^x+4x
对比得：6a=1, 8a+3b=0, -4c=4, 2c-2d=0
解得： a=1/6, b=-4/9, c=-1, d=-1
所以通解为y=y1+y*=C1+C2e^x+C3e^(-2x)+x(x/6-4/9)e^x-x(x+1)