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xy'+y=y^2的通解怎么求啊?
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xy'+y=y^2的通解怎么求啊?
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答案和解析
令x=e^t,则xy'=dy/dt
代入原方程,得dy/dt+y=y².(1)
令z=1/y,则dy=-y²dz
代入方程(1),得dz/dt-z=-1.(2)
∵方程(2)是一阶线性方程
∴由一阶线性方程通解公式,得方程(2)的通解是
z=Ce^t+1 (C是积分常数)
==>1/y=Ce^t+1
==>1/y=Cx+1
故原方程的通解是1/y=Cx+1 (C是积分常数).
代入原方程,得dy/dt+y=y².(1)
令z=1/y,则dy=-y²dz
代入方程(1),得dz/dt-z=-1.(2)
∵方程(2)是一阶线性方程
∴由一阶线性方程通解公式,得方程(2)的通解是
z=Ce^t+1 (C是积分常数)
==>1/y=Ce^t+1
==>1/y=Cx+1
故原方程的通解是1/y=Cx+1 (C是积分常数).
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