已知y=1+xe^xy,求y的二阶导数?

Question

已知y=1+xe^xy,求y的二阶导数?

Answer 1

方法很简单——利用复合函数求导,但算到2阶导数比较繁琐：
将隐函数方程关于x求导：
y'=e^(xy)+x(xy)'e^(xy)=e^(xy)+x(y+xy')e^(xy)
=(1+xy+x^2y')e^(xy)
整理得到：
y'=(1+xy)e^(xy)/[1-x^2e^(xy)]
再对前式继续关于x求导：
y”=(1+xy+x^2y')'e^(xy)+(1+xy+x^2y')(xy)'e^(xy)
=[(y+xy'+2xy'+x^2y")+(1+xy+x^2y)(y+xy')]e^(xy)
=(2y+4xy'+xy^2+x^2y^2+x^3y'+x^2yy'+x^2y")e^(xy)
=[(2y+xy^2+x^2y^2)+(4x+x^3+x^2y)y'+x^2y"]e^(xy)
整理得：
y"=[(2y+xy^2+x^2y^2)+(4x+x^3+x^2y)y']e^(xy)/(1-x^2)e^(xy)]
其中y'可以用前面的结果带入.