求微分方程y'+y=e^-x的通解

Question

求微分方程y'+y=e^-x的通解

Answer 1

求微分方程y'+y=e^(-x)的通解
先求齐次方程y'+y=0的通dy/dx=-y,分离变量得dy/y=-dx；
积分之,得lny=-x+lnC₁,即y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x)；
为求原方程的通解,可用参数变易法：把积分常量C₁改为x的某个函数u,得：y=ue^(-x).(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=e^(-x)(du/dx)-ue^(-x).(2)
将(1)和(2)代入原式得e^(-x)(du/dx)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-x)；
即有e^(-x)(du/dx)=e^(-x),于是得du/dx=1,故得u=x+C；代入(1)式,即得原方程的通解为：
y=(x+C)e^(-x).
【此解法比较通俗易懂,且几乎程式化,好掌握,建议你学会这一方法,用来求解此类一阶非
齐次方程.】