已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．（I）求概率P(X=12)；（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．

Question

已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．
（I）求概率 P(X=(1)/(2) ) ；
（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．

Answer 1

（I）从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有

C

38

种取法
其中X= (1)/(2) 的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个
∴P（X= (1)/(2) ）= (24)/(C38) = (3)/(7)


（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8个，其面积为 (3)/(2)
形如△ABC的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是 (1)/(2)
形如△ABG的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是 (2)/(2)
而X可能取值有 (1)/(2) ，(2)/(2) ，(3)/(2)
P（X= (3)/(2) ）= (8)/(C38) =(1)/(7)
P（X= (2)/(2) ）= (24)/(56) =(3)/(7)
∴随机变量X的分布列为



EX= (1)/(2) ×(3)/(7) +(2)/(2) ×(3)/(7) +(3)/(2) ×(1)/(7) =(3+32+3)/(14)