已知数列{an}中,a1=1,an+1=1/a*(an)^2(a＞0）,求数列{an}的通项公式

Question

已知数列{an}中,a1=1,an+1=1/a*(an)^2(a＞0）,求数列{an}的通项公式

Answer 1

易知道an>0,我们对an+1=1/a*(an)^2(a＞0）,两边同时取ln对数得
lna(n+1)=2lnan-lna,则有lna(n+1)-lna=2(lnan-lna)
即[lna(n+1)-lna]/[(lnan-lna)]=2
得到{lnan-lna}为等比数列,公比为q=2,首项为lna1-lna=0-lna=-lna
则lnan-lna=-(lna)2^(n-1)
即lnan=(lna)[1-2^(n-1)]
于是an=e^{lna[1-2^(n-1)]}=a*e^[1-2^(n-1)]
所以数列{an}的通项公式为an=a*e^[1-2^(n-1)]