设数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有bn+1=an+cn2，cn+1=an+bn2．（1）求数列{cn-bn}的通项公式；（2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{an}是公比为a的

Question

设数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a₁=a，b₁=1，c₁=3，对于任意n∈N^*，有b_n+1=(an+cn)/(2)，c_n+1=(an+bn)/(2)．
（1）求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n+c_n}都是常数项，求实数a的值；
（3）若数列{a_n}是公比为a的等比数列，记数列{b_n}和{c_n}的前n项和分别为S_n和T_n，记M_n=2S_n+1-T_n，求M_n<(5)/(2)对任意n∈N^*恒成立的a的取值范围．

Answer 1

（1）由于b_n+1=(an+cn)/(2)，c_n+1=(an+bn)/(2)．
c_n+1-b_n+1=(1)/(2)（b_n-c_n）=-(1)/(2)（c_n-b_n），
即数列{c_n-b_n}是首项为2，公比为-(1)/(2)的等比数列，
所以c_n-b_n=2•（-(1)/(2)）^n-1；
（2）b_n+1+c_n+1=(1)/(2)（b_n+c_n）+a_n，
因为b₁+c₁=4，数列{a_n}和{b_n+c_n}都是常数项，
即有a_n=a，b_n+c_n=4，
即4=(1)/(2)×4+a，解得a=2；
（3）数列{a_n}是公比为a的等比数列，即有a_n=aⁿ，
由M_n=2S_n+1-T_n=2（b₁+b₂+…+b_n）-（c₁+c₂+…+c_n）
=2b₁+（2b₂-c₁）+（2b₃-c₂）+…+（2b_n+1-c_n）
=2+a+a²+…+aⁿ，
由题意可得a≠0且a≠1，0<|a|<1．
由2+(a(1-an))/(1-a)<(5)/(2)对任意n∈N^*恒成立，
即有2+(a)/(1-a)≤(5)/(2)，
解得-1<a<0或0<a≤(1)/(3)．
故a的取值范围是（-1，0）∪（0，(1)/(3)]．