已知数列an的各项均为正数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+...+an)2=a1^3+a2^3+...+an^3.（1）求数列{an}的通项公式

Question

已知数列an的各项均为正数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+...+an)2=a1^3+a 2^3+...+an^3.
（1）求数列{an}的通项公式

Answer 1

令Sn=a1+a2+a3+a4+...+an
所以 Sn^2=a1^3+a 2^3+...+an^3
Sn+1^2=a1^3+a 2^3+...+an^3+an+1^3
两式相减得
(Sn+1^2-Sn^2)=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2Sn+1-an+1)an+1=an+1^3
2Sn+1=an+1^2+an+1
令n=0,得 2S1=a1^2+a1 因为S1=a1
所以可以解得a1=1或a1=0,对因an各项为正,所以a1=1
由2Sn+1=an+1^2+an+1 可得2Sn=an^2+an
两式相减得 2an+1=an+1^2+an+1-an^2-an
an+1^2-an^2 = an+1+an (an+1+an)(an+1-an)=an+1+an
所以 an+1-an=1
所以数列{an}的通项公式为 an=n
（也就是 1,2,3,4,5,6..）