某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（小时）间的关系为P=P0e-kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污

Question

某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（小时）间的关系为P=P₀e^-kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：
（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）

Answer 1

（1）由P=P₀e^-kt，可知，当t=0时，P=P₀；
当t=5时，P=（1-10%）P₀．于是有
(1−10%)P0＝P0e−5k，解得k＝−(1)/(5)ln0.9，那么P＝P0e((1)/(5)ln0.9)t，
∴当t=10时，P＝P0e((1)/(5)ln0.9)×10＝P0eln0.81=81%P₀．
∴10个小时后还剩81%的污染物；
（2）当P=50%P₀时，有50%P0＝P0e((1)/(5)ln0.9)t，
解得t＝(ln0.5)/((1)/(5)ln0.9)=(5ln(1)/(2))/(ln(9)/(10))＝5•(−ln2)/(ln9−ln10)＝5•(ln2)/(ln2+ln5−2ln3)＝35．
∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时．