设[a,b]是一个有限闭区间,如果对任意x0属于[a,b],f(x)在x=x0处的极限都存在,证明：f(x)在闭区间[a,b]上有界.求解答思路,是否用反证法?

Question

设[a,b]是一个有限闭区间,如果对任意x0属于[a,b],f(x)在x=x0处的极限都存在,证明：f(x)在闭区间[a,b]上有界.求解答思路,是否用反证法?

Answer 1

反证：若f(x)在区间[a,b]上无界
则把这个闭区间分成两部分[a,x1][x1,b]
f(x)至少在其中一个区间上无界,继续划分这个区间,最终得到一个闭区间套.
根据闭区间套定理,区间套中存在唯一的点P∈[an ,bn ],n=1,2,3..
因为对任意xo属于[a,b],f(x)在x=xo处极限存在.
所以f(x)在P处存在极限.设极限为A,存在δ＞0使得x∈（P-δ,P+δ）时,f(x)有界.
通过适当选取,使得（P-δ,P+δ）包含[an,bn]这个区间时,函数在区间内无界,所以矛盾.