已知函数f（x）=ax-bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2b．（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b．

Question

已知函数f（x）=ax-bx²
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2√(b)．
（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√(b)．

Answer 1

证明：（1）∵对任意x∈R都有f（x）≤1，
∴bx²-ax+1≥0恒成立，
∴△=a²-4b≤0，
∴a≤2√(b)．
（2）∵|f（x）|≤1⇔-1≤ax-bx²≤1
⇔

b≤(a)/(x)+(1)/(x2)

b≥(a)/(x)−(1)/(x2)

x∈[0，1]
 ((a)/(x)+(1)/(x2))min＝a+1∴b≤a+1，
((a)/(x)−(1)/(x2))max＝

(a2)/(4)(a≥2)

a−1(0＜a＜2)

且(a2)/(4)−(a−1)≥0，
∴(a2)/(4)≤b≤a+1∴⇔b−1≤a≤2√(b)．