已知函数f（x）=x+ax+b（a、b为常数）（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；（2）若a=1，当x∈[-1，2]时，f（x）＞−1(x+b)2恒成立，求b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(x+a)/(x+b)（a、b为常数）
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；
（2）若a=1，当x∈[-1，2]时，f（x）＞(−1)/((x+b)2)恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

解析：（1）∵f(x)＝(x+a)/(x+b)，b=1，
∴f(x)＝(x+a)/(x+1)，
∴f(x−1)＝((x−1)+a)/((x−1)+1)＝(x−1+a)/(x)，
∵f（x-1）＜0，
∴(x−1+a)/(x)＜0，等价于x[x-（1-a）]＜0，
①当1-a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1-a），
②当1-a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈∅，
③当1-a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1-a，0），
（2）∵a=1，f(x)＞(−1)/((x+b)2)，
∴(x+1)/(x+b)＞(−1)/((x+b)2)等价于（x+b）（x+1）＞-1．
显然x≠-b，且当x=-1时不等式（x+b）（x+1）＞-1成立．
由x∈[-1，2]时不等式恒成立，得
b＞−(1)/(x+1)−x＝1−((1)/(x+1)+x+1)，
∵x+1＞0，
∴(1)/(x+1)+(x+1)≥2√((1)/(x+1)•(x+1))＝2．
故b＞-1．