如图已知△ABC为等边三角形，P是AC延长线上一点，PA为边作等边三角形APE，EC的延长线交BP于点M，连接AM．求证：（1）BP=CE；（2）∠AME=60°．

Question

如图已知△ABC为等边三角形，P是AC延长线上一点，PA为边作等边三角形APE，EC的延长线交BP于点M，连接AM．求证：

（1）BP=CE；
（2）∠AME=60°．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，

AE＝AP

∠EAC＝∠PAB

AC＝AB

，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；
（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEC=∠APB，
∵∠ECA=∠PCM，∠AEC+∠EAC+∠ECA=180°，∠APB+∠PCM+∠PMC=180°，
∴∠PME=∠EAC=60°，
∴A、M、P、E四点共圆，
∴∠AME=∠EPA=60°．