如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E（1）证明点C在圆O上；（2）求tan∠CDE的值；（3）求圆心O到弦ED的距离．

Question

如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E

（1）证明点C在圆O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．

Answer 1

（1）证明：如图1，连结CO．
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴AC=10．
又∵CD=24，AD=26，10²+24²=26²，
∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．
∵AD为 O的直径，
∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，
∴OC=(1)/(2)AD=r，
∴点C在圆O上；

（2） 如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．
∵∠BFD=90°，
∴∠CDE+∠FCD=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB=(6)/(8)=(3)/(4)，
∴tan∠CDE=tan∠ACB=(3)/(4)；

（3） 如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG=(1)/(2)AE．
易证△ABC∽△CFD，
∴(AB)/(CF)=(AC)/(CD)，即(6)/(CF)=(10)/(24)，
∴CF=(72)/(5)，
∴BF=BC+CF=8+(72)/(5)=(112)/(5)．
∵∠B=∠F=∠AED=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE=BF=(112)/(5)，
∴OG=(1)/(2)AE=(56)/(5)，
即圆心O到弦ED的距离为(56)/(5)．