如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F．（1）求证：EF=DF；（2）求证：S△ABC=S△DCE．

Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F．

（1）求证：EF=DF；
（2）求证：S_△ABC=S_△DCE．

Answer 1

证明：（1）作EG⊥BF，交BF延长线于G，如图所示：
则∠CGE=∠ABC=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECG=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECG=∠BAC，
在△ABC和△CGE中，

∠ECG=∠BAC

∠CGE=∠ABC

AC=CE

，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴BC=EG，
∵BC=CD，
∴EG=CD，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°=∠EGF，
在△CFD和△GFE中，

∠DCF=∠EGF

∠CFD=∠GFE

CD=EG

，
∴△CFD≌△GFE（AAS），
∴EF=DF；
（2）∵△CFD≌△GFE，
∴S_△CFD=S_△GFE，
∴S_△CFD+S_△CFE=S_△GFE+S_△CFE，
即S_△DCE=S_△CGE，
∵△ABC≌△CGE，
∴S_△ABC=S_△CGE，
∴S_△ABC=S_△DCE．