如图，在正方形ABCD中，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于点F．（1）求证：AF+BF=EF；（2）若AB=6，求EF的长．

Question

如图，在正方形ABCD中，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于点F．

（1）求证：AF+BF=EF；
（2）若AB=√(6)，求EF的长．

Answer 1

（1）在BE上取一点M，使得∠EAM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AE=BC，∠CAD=∠CAB=45°，∠BAD=90°，
∵∠EAB=150°，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=15°，
在△AEM和△ABF中，

∠AEM=∠ABF

∠EAM=∠BAF

AE=AB

，
∴△AEM≌△ABF，
∴AM=AF，EM=FB，
∵∠MAF=∠EAB-∠EAM-∠BAF=60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AF=MF，
∴EF=EM+MF=BF+AF．
（2）连接BD交AC于N．
∵AB=√(6)，四边形ABCD是正方形，
∴BN=AN=√(3)，
在RT△NBF中，∵BN=√(3)，∠BFN=∠AFM=60°，
∴FN=1，BF=2，AF=AN-FN=√(3)-1，
∵EF=EM+MF=BF+AF=2+√(3)-1=1+√(3)．