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证明柯西点列是有界点列
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证明柯西点列是有界点列
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答案和解析
设{x_n}是Cauchy点列.则满足任取e > 0,存在N,使得m, n >= N时,有x_m和x_n距离小于e.
取e = 1,设m, n >= N0时,x_m和x_n距离小于1.此时取m = N0,则x_N0和x_n的距离小于1.说明N0之后的点都在以x_N0为球心,半径为1的球之内.
而N0之前只有有限个点x_1, ..., x_{N0-1}.取M = max{x_N0到x_i的距离,i < N0},再取M1 = max{M, 1},于是X_N0到x_n(n是自然数）的距离都不超过M1,当然说明这个点列是有界的.
取e = 1,设m, n >= N0时,x_m和x_n距离小于1.此时取m = N0,则x_N0和x_n的距离小于1.说明N0之后的点都在以x_N0为球心,半径为1的球之内.
而N0之前只有有限个点x_1, ..., x_{N0-1}.取M = max{x_N0到x_i的距离,i < N0},再取M1 = max{M, 1},于是X_N0到x_n(n是自然数）的距离都不超过M1,当然说明这个点列是有界的.
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