怎么证明：{Xn}为有界数列的充要条件是{Xn}的任一子列都存在其收敛的子列?

Question

怎么证明：{Xn}为有界数列的充要条件是{Xn}的任一子列都存在其收敛的子列?

Answer 1

在完成证明之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列.
证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况：
情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为“龙头”的项依次取出来,得到一个严格递减的数列；
情况2 这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”,取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项）,记作a(i(1)),由于a(i(1))不是“龙头”,在它后面必有一项a(i(2)),满足 a(i(1))i(1) ；又因为a(i(2))也不是“龙头”,在它后面也必可找到一项a(i(3)),满足 a(i(2))i(2) ；依次进行下去,得到的子列a(i(n)),它显然是一个递增的子列.
所以 任一数列中都能取出一个单调子列.
下面证明 数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
证明：当数列a(n)有界,对a(n)中的任一子序列a(i(n)),利用上述结论,能从a(i(n))中取出一个单调的子序列 a(i(n(k)))；又因为a(n)有界,那么a(i(n(k)))也有界,单调有界数列必有极限,所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.
当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界.假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；
现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；
取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 ；
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取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；
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这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上,可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.
综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
如有不理解的地方可再细问,