映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X,如何证明：f(A∪B)=f(A)∪f(B)

Question

映射 f:X→Y,A⊂X,B⊂X,如何证明：f(A∪B)=f(A)∪f(B)

Answer 1

证明：因为A⊂X,B⊂X,所以：A⊆(A∪B) ,B⊆(A∪B) ,(A∪B) ⊆ X
则：（1）对于任意x∈A∪B,有f(x) ∈f(A∪B)
因为x∈A∪B,所以x∈A或x∈B
则：f(x)∈f(A)或f(x)∈f(B),即：f(x)∈[f(A)∪f(B) ]
所以：f(A∪B)⊆[f(A)∪f(B)]
(2)对于任意x∈A或x∈B,有f(x) ∈f(A)或f(x) ∈f(B),即：f(x)∈[f(A)∪f(B) ]
因为x∈A或x∈B,所以x∈A∪B
则：f(x)∈f(A∪B)
所以：[f(A)∪f(B)]⊆f(A∪B)
因此,综上所述有：f(A∪B)＝[f(A)∪f(B)]成立.