如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．

Question

如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

（1）连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．
补：
证明：∵OC=CP=2，
∴OP=4，
由（1）可知：BC=OC=2，
∴BC=(1)/(2)OP，∠BOC=60°，
∴△OBP是直角三角形，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．