（2014•道外区三模）如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；（2）如图2连接AN，试判断线段

Question

（2014•道外区三模）如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．
（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；
（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．

Answer 1

（1）证明：如图1，过点C作CH⊥FP于点H，
∴∠CHP=∠CHG=90°，
∵FE⊥平分PC，
∴FC=FP，
∴∠FPC=∠FCP，
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FPC=∠DPC，
在△CPH和△CPD中，

∠FPC＝∠DPC

∠D＝∠CHP＝90°

CP＝CP

，
∴△CPH≌△CPD（AAS），
∴CH=CD，
∵BC=CD，
∴CH=BC，
又∵AB⊥BC，CH⊥CP，
∴GC平分∠PGB；

（2）如图2，连接PN，由（1）知△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，
∴∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，
∴∠GCP=∠DCB=45°，
∵FE⊥平分PC，
∴NC=NP，
∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PC=√(2)CN，PN=CN，
连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，
则∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°，
∴∠PND=∠CNK，
∵∠NPD=45°+（90°-∠PCD）=135°-∠PCD，
∠NCK=180°-45°-∠PCD=135°-∠PCD，
∴∠NPD=∠NCK，
在△NPD和△NCK中，

∠PND＝∠CNK

PN＝CN

∠NPD＝∠NCK

，
∴△NPD≌△NCK（ASA），
∴NK=ND，
∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，
在△NAD和△NCD中，

AD＝CD

∠NDK＝∠NDA

DN＝DN

，
∴△NAD≌△NCD（SAS），
∴NC=NA，
∴PC=

作业帮用户 2017-10-27