A为椭圆x2a2y2b2=1上一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好｜AF1｜：｜AF2｜=3：1（1）椭圆离心率（2）设向量AF1=n1*向量F1B,向量AF2=n2*向量F2C,试判断n1+n2是否为定值.

Question

A为椭圆x2a2y2b2=1上一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好｜AF1｜：｜AF2｜=3：1
（1）椭圆离心率（2）设向量AF1=n1*向量F1B,向量AF2=n2*向量F2C,试判断n1+n2是否为定值.

Answer 1

（1）设AF1=3x,则AF2=x
则3x+x=2a,x=a/2
所以AF1=3a/2,AF2=a/2
根据勾股定理
(3a/2)²=(a/2)²+(2c)²
4c²=2a²
c²/a²=1/2
e²=1/2
所以离心率e=√2/2
（2）c²=1/2a²,a²=b²+c²,所以b=c
椭圆方程变为：x²+2y²=2b²
焦点坐标F1（-b,0）,F2（b,0）
设点A（x0,y0）B（x1,y1）C（x2,y2）
n1=向量AF1/向量F1B,n2=向量AF2/向量F2C
即n1=-y0/y1,n2=-y0/y2
直线AC斜率：y0/(x0-b)
设直线AC方程：x=[(x0-b)/y0]y+b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b-2x0)y²+2(x0-b)y0y-by0²=0(注：x0²+2y0²=2b²)
韦达定理：y0y2=-by0²/(3b-2x0)
y2=-by0/(3b-2x0)
n2=-y0/y2=(3b-2x0)/b
直线AB的方程：x=[(x0+b)/y0]y-b
代入椭圆方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b+2x0)y²-2b(x0+b)y-by0²=0
韦达定理：y0y1=-by0²/(3b+2x0)
y1=-by0/(3b+2x0)
n1=-y0/y1=(3b+2x0)/b
n1+n2=(3b+2x0)/b+(3b-2x0)/b=6b/b=6
当AC斜率不存在的时候,即AC垂直x轴
y0=-y2,所以n1=1
x0=b,n2=(3b+2b)/b=5
n1+n2=6亦成立
综上n1+n2是定值=6