如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数

Question

如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数为k=

(mg)/(R)，原长为L=2R，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v₀，已知重力加速度为g，则（　　）

A. 无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道

B. 若在

√(2gR)<v₀<√(5gR)则小球会在B、D间脱离圆轨道

C. 只要v₀>

√(4gR)，小球就能做完整的圆周运动

D. 只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v₀无关

Answer 1

AB、因弹簧的劲度系数为k=(mg)/(R)，原长为L=2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F=K（l-R）=KR=mg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力（在CD一下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力），所以无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道，故A正确，B错误．
C、小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有：(1)/(2)mv02=2mgR，所以只要v₀>√(4gR)，小球就能做完整的圆周运动，故C正确．
D、在最低点时，设小球受到的支持力为N，有：
N-KR-mg=m(v02)/(R)，
解得：N=2mg+m(v02)/(R)…①
运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N′，设此时的速度为v，由机械能守恒有：(1)/(2)mv02=2mgR+(1)/(2)mv2…②
此时合外力提供向心力，有：N′-KR+mg=m(v2)/(R)…③
联立②③解得：N′=m(v02)/(R)-4mg…④
联立①④得压力差为：△N=6mg，与初速度无关，故D正确．
故选：ACD．