其实问题不难的：对任意的正数x,y,z,证：x/(√(y^2+z^2))+y/(√(z^2+x^2))+z/(√(x^2+y^2)）>2不妨设x=

Question

其实问题不难的：
对任意的正数x,y,z,证：x/(√(y^2+z^2))+y/(√(z^2+x^2))+z/(√(x^2+y^2)）>2
不妨设x=

Answer 1

∵ (√(x^2+y^2))/(√(x^2+z^2))+(√(x^2+z^2))/(√(x^2+y^2)) ≥2√[
(√(x^2+y^2))/(√(x^2+z^2))*(√(x^2+z^2))/(√(x^2+y^2)) ],当且仅当(√(x^2+y^2))/(√(x^2+z^2))=(√(x^2+z^2))/(√(x^2+y^2)).（均值不等式）,即y=z的时候
∴(√(x^2+y^2))/(√(x^2+z^2))+(√(x^2+z^2))/(√(x^2+y^2)) ≥2√1=2
当x=y=z时,不等式有最小值,即等于2,又因为要x/(√(y^2+z^2))+y/(√(z^2+x^2))+z/(√(x^2+y^2)）>2
∴x/(√(y^2+z^2))+y/(√(z^2+x^2))+z/(√(x^2+y^2))>(√(x^2+y^2))/(√(x^2+z^2))+(√(x^2+z^2))/(√(x^2+y^2))