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已知:两个正整数的和与积相等,求这两个正整数.解:不妨设这两个正整数为a、b,且a≤b.由题意,得ab=a+b,(*)则ab=a+b≤b+b=2b,所以a≤2,因为a为正整数,所以a=1或2,①当a=1时,代入
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已知:两个正整数的和与积相等,求这两个正整数.
解:不妨设这两个正整数为a、b,且a≤b.
由题意,得ab=a+b,(*)
则ab=a+b≤b+b=2b,所以a≤2,
因为a为正整数,所以a=1或2,
①当a=1时,代入等式(*),得1•b=1+b,b不存在;
②当a=2时,代入等式(*),得2•b=2+b,b=2.
所以这两个正整数为2和2.
仔细阅读以上材料,根据阅读材料的启示,思考是否存在三个正整数,它们的和与积相等试说明你的理由.
解:不妨设这两个正整数为a、b,且a≤b.
由题意,得ab=a+b,(*)
则ab=a+b≤b+b=2b,所以a≤2,
因为a为正整数,所以a=1或2,
①当a=1时,代入等式(*),得1•b=1+b,b不存在;
②当a=2时,代入等式(*),得2•b=2+b,b=2.
所以这两个正整数为2和2.
仔细阅读以上材料,根据阅读材料的启示,思考是否存在三个正整数,它们的和与积相等试说明你的理由.
▼优质解答
答案和解析
假设存在三个正整数,它们的和与积相等,
不妨设这三个正整数为a、b、c,且a≤b≤c,则abc=a+b+c(※)
所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c,所以ab≤3,
若a≥2,则b≥a≥2,所以ab≥4,与ab≤3矛盾.
因此a=1,b=1或2或3,
①当a=1,b=1时,代入等式(※)得1+1+c=1•1•c,c不存在.
②当a=1,b=2时,代入等式(※)得1+2+c=1•2•c,c=3.
③当a=1,b=3时,代入等式(※)得1+3+c=1•3•c,c=2,与b≤c矛盾,舍去.
所以a=1,b=2,c=3,因此假设成立,即存在三个正整数,它们的和与积相等.
不妨设这三个正整数为a、b、c,且a≤b≤c,则abc=a+b+c(※)
所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c,所以ab≤3,
若a≥2,则b≥a≥2,所以ab≥4,与ab≤3矛盾.
因此a=1,b=1或2或3,
①当a=1,b=1时,代入等式(※)得1+1+c=1•1•c,c不存在.
②当a=1,b=2时,代入等式(※)得1+2+c=1•2•c,c=3.
③当a=1,b=3时,代入等式(※)得1+3+c=1•3•c,c=2,与b≤c矛盾,舍去.
所以a=1,b=2,c=3,因此假设成立,即存在三个正整数,它们的和与积相等.
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