有n（n>=2且为整数）个乒乓球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队都进行一场比赛,如果用Ai和Bi分别表示第i（i=1,2,3,……,n）支球队在整个赛程中胜与负的局数,求证：A1的2次方+A2的2次方+A3

Question

有n（n>=2且为整数）个乒乓球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队都进行一场比赛,如果用Ai和Bi分别表示第i（i=1,2,3,……,n）支球队在整个赛程中胜与负的局数,求证：A1的2次方+A2的2次方+A3的2次方+……+An的2次方=B1的2次方+B2的2次方+……+Bn的2次方

Answer 1

因为进行单循环赛 所以没支队伍一共进行n-1场比赛.
所以 Ai+Bi=n-1
所以 ∑Ai²-∑Bi²=∑(Ai²-Bi²)
=∑(Ai+Bi)(Ai-Bi)
=(n-1)∑(Ai-Bi)
=(n-1)[A1+A2+...+An-(B1+B2+...+Bn)]
显然有一队胜就有一队输 所以 [A1+A2+...+An-(B1+B2+...+Bn)]=0
所以∑Ai²-∑Bi²=0 即 A1的2次方+A2的2次方+A3的2次方+……+An的2次方=B1的2次方+B2的2次方+……+Bn的2次方