我国探月工程实施“绕”、“落”、“回”发展战略．“绕”即环绕月球进行月表探测，2007年10月24日成功发射“嫦娥一号”探测器完成绕月探测；“落”是着月探测，2013年12月2日成功发射

Question

我国探月工程实施“绕”、“落”、“回”发展战略．“绕”即环绕月球进行月表探测，2007年10月24日成功发射“嫦娥一号”探测器完成绕月探测；“落”是着月探测，2013年12月2日成功发射“嫦娥三号”并于2013年12月14日成功实施软着陆，传回图象，释放月球车；“回”是在月球表面着陆，并采样返回，计划于2017年前后实施．假设若干年后中国人乘宇宙飞船探索月球并完成如下实验：①当质量为m₁的飞船（含登月舱）沿贴近月球表面的圆形轨道环绕时，测得环绕一周经过的时间为T；②当质量为m₂的登月舱在月球表面着陆后，科研人员在距月球地面高h处以速度v₀水平抛出一个质量为m₀的小球，测得小球落地点与抛出点的水平距离为L．试根据以上信息，求：
（1）月球表面重力加速度的大小g；
（2）月球的质量M；
（3）登月舱离开月球返回近月轨道上的宇宙飞船时发动机做的功？

Answer 1

（1）设月球表面重力加速度为g，由平抛运动规律
竖直方向自由落体运动h＝(1)/(2)gt2
水平方向匀速直线运动L=v₀t
解得：g＝(2hv20)/(L2)
（2）设月球半径为R，飞船在近月面轨道环行时，有：G(Mm1)/(R2)＝m1((2π)/(T))2R
在月球表面时，有：G(Mm0)/(R2)＝m0g
解得：R＝(gT2)/(4π2)＝(hv20T2)/(2π2L2)
所以M＝(gR2)/(G)＝(h3T4v60)/(2Gπ4L6)
（3）发动机做功使登月舱离开月球绕月球表面做匀速圆周运动，登陆舱在近月轨道运行的向心加速度为g，则g＝(2π)/(T)v
解得：v＝(hTv20)/(πL2)
由动能定理：W＝(1)/(2)m2v2−0＝(m2h2T2v40)/(2π2L4)
答：（1）月球表面重力加速度的大小g＝(2hv20)/(L2)；
（2）月球的质量M为(h3T4v06)/(2Gπ4L6)；
（3）登月舱离开月球返回近月轨道上的宇宙飞船时发动机做的功为(m2h2T2v04)/(2π2L4)．