早教吧作业答案频道 -->数学-->

请阅读下列材料：问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD．求证：BD+AD=2CD．小明的思考过程如下：要证BD+AD=2CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以

题目详情

请阅读下列材料：
问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD．求证：BD+AD=

CD．
小明的思考过程如下：要证BD+AD=

CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=

CD，于是结论得证．
小聪的思考过程如下：要证BD+AD=

CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=

CD，于是结论得证．

请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：
（1）将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；
（2）在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=

时，CD=

±1

．

▼优质解答

答案和解析

（1）如图2，BD-AD=

CD．
如图3，AD-BD=

CD．
证明图2：（法一）在直线MN上截取AE=BD，联结CE．
设AC与BD相交于点F，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠AFD=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中

AE＝BD

∠CAE＝∠1

AC＝BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴CE=CD，∠ACE=∠BCD．
∴∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD，即∠2=∠ACB=90°．

在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

CD．
∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=

CD．

（法二）如图2，过点C作CE⊥CD交MN于点E，则∠2=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
设AC与BD相交于点F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．
∴∠CAE+∠AFD=90°，∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中