已知f(z)在[-1,1]连续证∫∫∫f'(z)dv=2π∫zf(z)dz三重积分区域是中心为原点的球内,右边是从-1积到1.已知f(z)在[-1,1]有连续的导数证∫∫∫f'(z)dv=2π∫zf(z)dz三重积分区域是中心为原点的半径为1

Question

已知f(z)在[-1,1]连续 证∫∫∫f'(z)dv=2π∫zf(z)dz 三重积分区域是中心为原点的球内,右边是从-1积到1.
已知f(z)在[-1,1]有连续的导数
证∫∫∫f'(z)dv=2π∫zf(z)dz
三重积分区域是中心为原点的半径为1的球内,右边是从-1积到1.

Answer 1

用截面法（先2后1）做三重积分：
取截面Dz：x²+y²≤1-z²
左边=∫∫∫f '(z)dv
=∫[-1→1] f '(z)dz∫∫ 1 dxdy 二重积分的积分区域为：Dz,Dz的面积是：π(1-z²)
=π∫[-1→1] f '(z)(1-z²) dz
分部积分
=π∫[-1→1] (1-z²) d(f(z))
=π(1-z²)f(z)-π∫[-1→1] (-2z)f(z) dz 前一项用上下限[-1→1]代入后结果为0
=2π∫[-1→1] zf(z) dz
=右边