概率问题向正方形区域样本空间={（p,q）｜｜p｜≤1,｜q｜≤1}中随机投一点,如果（p,q）是所投点M的坐标,试求：1方程X平方+pX+q=0有两个实根的概率.2方程X平方+pX+q=0有两个正实根的概率.

Question

概率问题
向正方形区域样本空间={（p,q）｜｜p｜≤1, ｜q｜ ≤1}中随机投一点,如果（p,q）是所投点M的坐标,试求：
1 方程X平方+pX+q=0有两个实根的概率.
2 方程X平方+pX+q=0有两个正实根的概率.

Answer 1

1 方程X平方+pX+q=0有两个实根的概率.
满足有两个实根需满足判别式Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac=p²-4q>0
在以p为横坐标轴,q纵坐标轴的坐标系里面,p²=4q是条开口向上的抛物线.在这条抛物线的下面对应的(p,q)均满足p²>4q,即p²-4q>0.
求在正方形区域样本空间={（p,q）｜｜p｜≤1,｜q｜ ≤1}满足p²-4q>0的区域的面积与正方形区域面积的比之极为概率.
抛物线下方和正方形区域样本空间={（p,q）｜｜p｜≤1,｜q｜ ≤1}组成的面积为抛物线和p轴围成的面积和q0的区域面积为(1/6+2)
满足p²-4q>0的区域面积占整个正方形区域面积的比值即方程x²+px+q=0有两个实根的概率为
P=(1/6+2)/4=13/24
2 方程X平方+pX+q=0有两个正实根的概率.
X²+pX+q=0 有两个正实根需满足
p²-4q>0
p0
在以p为横坐标轴,q纵坐标轴的坐标系里面,满足条件的区域为
抛物线p²=4q的左半侧和p的负半轴所围成的区域.
该区域面积为1/12
该区域与真个正方形区域面积的比值为极为满足方程X平方+pX+q=0有两个正实根的概率.
P=1/12/4=1/48.