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已知二次函数f（x)=ax2+bx+c(a≠0）.若方程f(x)无实根.求证：方程f{f(x)}=x也无实根.
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已知二次函数f（x)=ax2+bx+c(a≠0）.若方程f(x)无实根.求证：方程f{f(x)}=x也无实根.
▼优质解答
答案和解析
题目是不是：已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）,若方程f（x）=x无实根,求证：方程f（f（x））=x也无实根
证明：因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
方程f(x)=x 即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根,f(x)-x仍是二次函数,f(x)-x=0仍是二次方程,无实根Δ=＜0
若a＞0,则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方,
∴y＞0,即f(x)-x＞0恒成立,即：f(x)＞x对任意实数x恒成立.
∴对f(x),有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立
∴f(f(x))=x无实根
证明：因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
方程f(x)=x 即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根,f(x)-x仍是二次函数,f(x)-x=0仍是二次方程,无实根Δ=＜0
若a＞0,则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方,
∴y＞0,即f(x)-x＞0恒成立,即：f(x)＞x对任意实数x恒成立.
∴对f(x),有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立
∴f(f(x))=x无实根
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