已知椭圆x2a21+y2b21=1（a1＞0，b1＞0）的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为e1；双曲线x2a22-y2b22=1（a2＞0，b2＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为e2．则e1e2=

Question

已知椭圆(x2)/(a21)+(y2)/(b21)=1（a₁＞0，b₁＞0）的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为e₁；双曲线(x2)/(a22)-(y2)/(b22)=1（a₂＞0，b₂＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为e₂．则e₁e₂=______．

Answer 1

设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c₁，2b₁，2a₁，
∵椭圆的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，
∴2a₁，2b₁，2c₁成等比数列，
∴4b₁²=2a₁•2c₁，∴b₁²=a₁•c₁，
∴b₁²=a₁²-c₁²=a₁•c₁，
两边同除以a₁²得：e₁²+e₁-1=0，
解得，e₁=(√(5)−1)/(2)，
双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，
∴b₂²=a₂c₂，
∴c₂²-a₂²=a₂c₂，
∴e₂²-e₂-1=0，
∵e₂＞1，
∴e₂=(√(5)+1)/(2)，
∴e₁e₂=1
故答案为：1．