设A为正定实矩阵,(1)C为可逆矩阵,则C'AC为正定.(2)C为实n×n矩阵,则C'AC为半正定.C'为转置矩阵

Question

设A为正定实矩阵, (1)C为可逆矩阵,则C'AC 为正定. (2)C为实n × n矩阵,则C'AC为半正定.
C' 为转置矩阵

Answer 1

证明:对任一非零n维列向量x
考虑Cx是否为零向量.
若C可逆,则 Cx≠0,否则等式两边左乘C^-1即得x=0.
由A正定得 (Cx)'A(Cx)>0
即 x'C'ACx > 0
故 C'AC 是正定矩阵,(1)得证.
若C为实n×n矩阵,则由A正定知 (Cx)'A(Cx)>=0
即 x'C'ACx >= 0
故 C'AC 是半正定矩阵.