如图，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．(1)求此正三棱锥的高；(2)求二面角E―FD―B的大小．

Question

如图，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱锥的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

如图，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱锥的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

如图，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱锥的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

Answer 1

解法一：(1)由正三棱锥的性质知AC⊥BD． EF//AC ∴EF⊥BD．又EF⊥ED．故EF⊥平面ABD，即 AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD． 又∵A―BCD为正三棱锥， ∴AB⊥AD， 从而AB=AC=AD=?BC=．   设△BCD中心为O，则棱锥高为   AO=．   (2)过E作EH⊥BO于H，则EH∥AO，即EH⊥平面BCD． 又过H作HG⊥DF于G，连EG，则EG⊥DF， 故∠HGE为二面角E一FD一B的平面角．   ∵EH=AO=，HG=BF=，   ∴tan∠EGH==×2=，   ∠EGH=arctan   解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则B、C、D的坐标为B(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)， 若设棱锥高为h，又A在平面BCD上的射影为ABCD的中心， 则A的坐标为(，1，h)． ∵E、F为AB、BC的中点， ∴E(，，h)，F(，，0)． ∵EF⊥DE，∴，    即(，0，一)?(，一，一)=0    ∴，．   (2)设m=(，，z)为平面DEF的法向量，则   ．即   令z=1，则   又平面BCD的法向量n=(0 0 1)，由m n的方向知，当二面角E―FD―B设为时，   cos=，

解法一：(1)由正三棱锥的性质知AC⊥BD． EF//AC ∴EF⊥BD．又EF⊥ED．故EF⊥平面ABD，即 AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD． 又∵A―BCD为正三棱锥， ∴AB⊥AD， 从而AB=AC=AD=?BC=．   设△BCD中心为O，则棱锥高为   AO=．   (2)过E作EH⊥BO于H，则EH∥AO，即EH⊥平面BCD． 又过H作HG⊥DF于G，连EG，则EG⊥DF， 故∠HGE为二面角E一FD一B的平面角．   ∵EH=AO=，HG=BF=，   ∴tan∠EGH==×2=，   ∠EGH=arctan   解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则B、C、D的坐标为B(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)， 若设棱锥高为h，又A在平面BCD上的射影为ABCD的中心， 则A的坐标为(，1，h)． ∵E、F为AB、BC的中点， ∴E(，，h)，F(，，0)． ∵EF⊥DE，∴，    即(，0，一)?(，一，一)=0    ∴，．   (2)设m=(，，z)为平面DEF的法向量，则   ．即   令z=1，则   又平面BCD的法向量n=(0 0 1)，由m n的方向知，当二面角E―FD―B设为时，   cos=，