若自然数n有m个正奇约数（包括约数1），求证：n有m-1种拆成连续自然数之和的方法．

Question

若自然数n有m个正奇约数（包括约数1），求证：n有m-1种拆成连续自然数之和的方法．

Answer 1

证明：设n=a+（a+1）+…（a+k-1），a∈N，且k≥2，则2n=k（2a-1+k），
∵2a-1＞0，
∴2a-1+k＞k，且k与2a-1+k不同奇偶，
设2n=2a0•p1a1•p2a2…prar（p_i为奇素数，i=1，2，…r），
∴2n有（a₀+2）（a₁+1）…（a_r+1）个正约数，其中奇约数有（a₁+1）（a₂+1）…（a_r+1）个，
∴（a₁+1）（a₂+1）…（a_r+1）=m，
设每个奇数约数p都对应一个偶约数q，使p•q=2n，可知，p•q中较小着对应k，大的对应2a-1+k，
∴k•（2a-1+k）=p•q，有（a₁+1）（a₂+1）…（a_r+1）种对应，
即有m种对应（包括p=1，q=2n），当k=1时，n=a，不能认为是若干个连续自然数之和，
∴k有m-1个大于1的取值，
即n有m-1种拆成连续自然数之和的方法．