微积分中导数的定义运用问题1.设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是：（A）h趋向于0limf（1-cosh）/h平方存在；（B）h趋向于0limf(1-e的h次方)/h存在；（C）h趋向于0limf(h-sinh)/h的平方

Question

微积分中导数的定义运用问题
1.设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是：（A）h趋向于0 lim f（1-cosh）/h平方存在；（B）h趋向于0 lim f(1-e的h次方)/h存在；（C）h趋向于0 lim f(h-sinh)/h的平方存在；（D））h趋向于0 lim f[（2h）-f（h）]/h存在..答案是B,我想知道为什么其他三项是错误的,分别错在哪?
2.设x趋向于a lim[f(x)-b]/(x-a)=A,则[sinf(x)-sinb]/(x-a)=多少..我看答案一开始就是补充定义f(a)=b,为什么可以这样补充呢?没有f（x）连续的前提呀!事实上,f（a）不一定=b吧?而且换算后有x趋向于a lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′ |x=a,可以这样写吗?没有f(x)函数可导的前提呀!只是在a点可导而已呀,那我怎么对sinf（x）求导后代入x=a呢?
谢谢!

Answer 1

根据导数的定义式lim(h->0)f(x+h)-f(x)/h 式中注意两点：3个h必须一样且可以->0+ 和0- f(x)为确定的函数值 据此分析选项就可以了
A lim(1-cosh) f(1-cosh)(1-coosh)/(1-cosh)h 1-cosh只能->0+ C和A一样的错误 D中没有f(0)这一项
补充定义是为了凑出导数的定义式 lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′ |x=a这样写的前提是sinf(x)在a点可导 由补充的定义知f(x)在x=a处可导 所以sinf(x)在x=a处可导