从椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)上的一点P向X轴做垂线,垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与X轴正半轴的交点,点B的椭圆与Y轴正半轴的交点,且AB//OM.（1）求离心率（2）设Q是椭圆上任意一点,当QF2垂直AB时

Question

从椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)上的一点P向X轴做垂线,垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与X轴正半轴的交点,点B的椭圆与Y轴正半轴的交点,且AB//OM.（1）求离心率（2）设Q是椭圆上任意一点,当QF2垂直AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若△F1PQ的面积为20根号3,求该椭圆的方程

Answer 1

（1）
先求OM的高度：
x²/a² + y²/b² = 1
(-c)²/a² + y²/b² = 1
c²/a² + y²/b² = 1
因为 a² - b² = c²,所以：
(a² - b²)/a² + y²/b² = 1
y²/b² = b²/a²
y = b²/a
OM :F1O = BO :OA
b²/a :c = b :a
b c = b²
c = b
a² - b² = c²
a² - c² = c²
c² = 1/2 a²
e = c/a = √2/2
（2）
由第一问结论,b=c,所以a² = 2c²,椭圆方程简化为：
x²/2c² + y²/c² = 1
x² + 2y² = 2c²
△F1PQ的面积= 1/2 (c + c) * |(yP - yQ)|,yP,yQ是P、Q两点的y坐标.
下面来求这个坐标差：
首先,来看AB的斜率,k=b/a=-1/√2,由于PQ和AB垂直,斜率k'= √2,PQ过F2点,所以PQ的直线方程是：
y = √2(x -c)
x - c = y/√2
x = y/√2 + c
代入椭圆方程,消去x：
x² + 2y² = 2c²
(y/√2 + c)² + 2y² = 2c²
y²/2 + 2c/√2 y + c² + 2y² = 2c²
y²/2 + c√2 y + 2y² = c²
y² + 2c√2 y + 4y² = 2c²
5y² + 2c√2 y - 2c² = 0
*** 如果一个一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个实根,这两个根的差是：
| √(b² - 4ac) /a | ,差的平方式 (b² - 4ac) /a²
***
(y1 - y2)² = [ (2c√2)² - 4 * 5 * (-2c²) ]/5^2 = [8c² + 40c² ]/25
|(y1 - y2)| = 4√3 c/5
面积：
1/2 * 2c * 4√3 c/5 = 20√3
4c²=100
c = 5
所以椭圆方程是：
x² + 2y² = 2c²
x² + 2y² = 50
也可以变形为标准形式,自己做吧.
（完）