（2014•闵行区二模）设椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，过Γ2的焦点F作直线l，与Γ2交于A、B两点，在Γ1、Γ2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x

Question

（2014•闵行区二模）设椭圆Γ₁的中心和抛物线Γ₂的顶点均为原点O，Γ₁、Γ₂的焦点均在x轴上，过Γ₂的焦点F作直线l，与Γ₂交于A、B两点，在Γ₁、Γ₂上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	√(3)
y	-2√(3)	0	-4	-(√(3))/(2)

（1）求Γ₁，Γ₂的标准方程；
（2）设M是Γ₂准线上一点，直线MF的斜率为k₀，MA、MB的斜率依次为
k₁、k₂，请探究：k₀与k₁+k₂的关系；
（3）若l与Γ₁交于C、D两点，F₀为Γ₁的左焦点，问(S△F0AB)/(S△F0AB)是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）（-2，0），（√(3)，-(√(3))/(2)）在椭圆上，（3，-2√(3)），（4，-4）在抛物线上，
∴椭圆Γ₁：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，抛物线Γ₂：y²=4x …（4分）
（2）F（1，0）是抛物线的焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立
x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，x₁x₂=1，…（6分）
因Γ₂准线为x=-1，设M（-1，m），k₀=-(m)/(2)，k₁=(y1−m)/(x1+1)，k₂=(y2−m)/(x2+1)，
∴k₁+k₂=(kx1−k−m)/(x1+1)+(kx2−k−m)/(x2+1)=-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（8分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1得A（1，2），B（1，-2），k₁=(2−m)/(2)，k₂=(−2−m)/(2)，
∴k₁+k₂═-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（10分）
（3）设F₀到直线l的距离为d，则(S△F0AB)/(S△F0AB)=((1)/(2)d|AB|)/((1)/(2)d|CD|)=(|AB|)/(|CD|)．
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立
x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，x₁x₂=1，
|AB|=√(1+k2)•|x₁-x₂|=(4(1+k2))/(k2)（11分）
y=k（x-1），代入椭圆方程，可得联立方程（3+k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立
|CD|=|=√(1+k2)•|x₃-x₄|=(12(1+k2))/(3+4k2)，…（12分）
∴(S△F0AB)/(S△F0AB)=((1)/(2)d|AB|)/((1)/(2)d|CD|)=(|AB|)/(|CD|)=(3+4k2)/(3k2)=(1)/(k2)+(4)/(3)＞(4)/(3)．…（14分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，∴(S△F0AB)/(S△F0AB)=(4)/(3)．…（15分）
∴(S△F0AB)/(S△F0AB)的最小值为(4)/(3)．…（16分）