已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切．(Ⅰ)已知椭圆的离心率；(Ⅱ)若的最大值为49，求椭

Question

已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为A，P为C 上任一点，MN是圆 的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切．
(Ⅰ)已知椭圆 的离心率；
(Ⅱ)若 的最大值为49，求椭圆C 的方程．

Answer 1

已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为A，P为C 上任一点，MN是圆 的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切．
(Ⅰ)已知椭圆 的离心率；
(Ⅱ)若 的最大值为49，求椭圆C 的方程．

（Ⅰ）  （Ⅱ） ．

(I)先求出直线l的方程为 ,然后根据因为直线与圆 相切,得到 ,从而可得到a,c的关系，进而求出e.
(II) 在（I）的基础上，可把椭圆方程转化为 ,这样根据条件建立关于c的方程即可求出椭圆方程，因而设 、圆 的圆心记为 ，则 ,根据其最大值为49,可求出c的值.
（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为 ，
因为直线与圆 相切，所以 ，即
从而                                  …………………5分
（Ⅱ）设 、圆 的圆心记为 ，则
（ ﹥0），又 =
 ． …………………8分
j当
；
k当
故舍去．
综上所述，椭圆的方程为 ．                …………………12分