如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（文）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设过

Question

如图，椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（文）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问X轴上是否存在定点P，使PF平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形
所以|OF|=(√(3))/(2)|MN|，即1=(√(3))/(2)•(2)/(3)，
解得b=√(3)，a²=b²+1=4，
因此，椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+1．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△＞0，y1+y2＝−(6m)/(3m2+4)，y1y2＝−(9)/(3m2+4)．
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．
设P（a，0），则有kPA＝(y1)/(x1−a)，kPB＝(y2)/(x2−a)，
(y1)/(x1−a)+(y2)/(x2−a)＝0，
将x₁=my₁+1，x₂=my₂+2代入上式，
整理得

2my

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