已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，

AB

∥

OM

．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

依题意，作图如图：
（1）设F₁（-c，0），则x_M=-c，y_M=(b2)/(a)，
∴k_OM=-(b2)/(ac)．
∵k_AB=-(b)/(a)，

OM

∥

AB

，
∴-(b2)/(ac)=-(b)/(a)，
∴b=c，故e=(c)/(a)=(√(2))/(2)．
（1）设|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
cos θ=(r12+r22-4c2)/(2r1r2)=((r1+r2)2-2r1r2-4c2)/(2r1r2)
=(2b2)/(r1r2)-1≥(2b2)/(((r1+r2)/(2))2)-1=0，
当且仅当r₁=r₂时，cos θ=0，
∴θ∈[0，(π)/(2)]．