如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．（1）求a的值；（2）若点D在二次函数y=ax2-2x+2的图象的对称轴上，

Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．
（1）求a的值；
（2）若点D在二次函数y=ax²-2x+2的图象的对称轴上，点E在二次函数y=ax²-2x+2的图象上，是否存在以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①在旋转过程中，当点A₁落在二次函数y=ax²-2x+2的图象对称轴上时，求出此时的点B₁的坐标．
②在旋转过程中，当点B₁落在二次函数y=ax²-2x+2的图象对称轴上时，边OA₁与对称轴交于点F，求出此时的点F的坐标．

Answer 1

（1）二次函数y=ax²-2x+2的图象与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∵以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．
∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax²-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1
（2）①当点E在抛物线顶点时，
∵二次函数的解析式为y=-x²-2x+2．
∴E（-1，3）
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴当E（-1，3）以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形
②当BC∥DE，且DE=BC=2时，
∵点D在二次函数的对称轴上，
∴D的横坐标为-1，
∴设点E的横坐标为t，则有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．
∴E（-3，-1）或（1，-1）
综上所述：当点E的坐标为（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形．
（3）①如图1，

∵点A₁落在二次函数对称轴上，OA₁=2
∴∠A₁OA=60°，
∴∠BOB₁=60°，
∴∠B₁OC=60°-45°=15°，
∵OB₁=OB=2√(2)，
∴B₁（2√(2)sin15°，2√(2)cos15°），
②如图2，

设F（-1，m）
∵△A₁B₁F∽△HOF
∴(A1F)/(FH)=(A1B1)/(HO)，
∴(A1F)/(m)=(2)/(1)，
∴A₁F=2m
OB₁=OB=2√(2)
B₁H=√(OB12−OH2)=√(7)，
在Rt△A₁B₁F中
A₁F²+A₁B₁²=B₁F²
（2m）²+2²=（√(7)-m）²
m₁=(4−√(7))/(3)，m₂=-4-√(7)(−4−√(7))/(3)（舍去）
∴F（-1，(4−√(7))/(3)）．