如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,且PD=,PA=PC=.(1)求证:直线PD⊥面ABCD;(2)求二面角A－PB－D的大小.

Question

如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为 的正方形,且PD= ,PA=PC= .

(1)求证:直线PD⊥面ABCD;
(2)求二面角A－PB－D的大小.

Answer 1

（1）见解析；（2） .

(1)本小题可通过证 ，和 来达到证明直线PD⊥面ABCD的目的。
（2）解决本小题的关键是作出二面角的平面角，取AP中点H，过H作 于G，连结DG。则 为所求二面角平面角,然后解三角形求角即可。
（1） 在 中， ，
即 ，同理 又AD、CD 平面ABCD，
直线PD
（2）解法一：
如图,连结AC和BD，设

由（1）知 ，又 ，且
PD、BD 平面PBD， 直线AC 平面PBD，
过点O作 E为垂足，连结AE，由三垂线定理知
， 为二面角A-PB-D的平面角
AB ，所以 面ABCD，故AB PD，
从而AB 面PAD，故AB PA，
在 中， 在 中，
在 中，
二面角A-PB-D的平面角为 .
解法二：取AP中点H，过H作 于G，连结DG

则 为所求二面角平面角，
解法三：利用空间向量