求证：如果n²是奇数,那么n也是奇数.求证：n是奇数当且仅当n²为奇数.

Answer 1

for n=1
1^2 = 1 是奇数 => 1 是奇数
Assume N is true
如果N²是奇数,那么N也是奇数
for (N+a)^2 是奇数 ( a is +ve integer )
then
(N+a)^2 = N^2 + 2aN +a^2 是奇数
=> 2aN + a^2 是奇数 (N^2 是奇数)
if a 是偶数
=> a^2 是偶数 and 2aN是偶数 ( N 是奇数)
=> 2aN + a^2 是偶数 (rejected)
∴ a 是奇数
N 是奇数 and a 是奇数
=> N+a 是奇数
By Mathematical Induction,it is true for all n
如果n²是奇数,那么n也是奇数