急!计数问题从1,2,3,...,12中选出3个数,使得任意两个数的差不小于2有多少种方法

Question

急!计数问题 从1,2,3,...,12中选出3个数,使得任意两个数的差不小于2有多少种方法

Answer 1

看了大伙做的,都挺好的,我来说个简单方法吧.
我们计算一般的情形：
n 个数中选出 m 个,使得任意两个数的差不小于2,有多少种方法.
我们把这 n 个数排成一排,从 1 到 n.
从中选出 m 个,差不小于2,等价于：选出的这 m 个数不相邻.
我们把未选出的 n-m 个数看作 n-m 个球,选出的 m 个数看作 m 个挡板.
我们的问题就相当于：将 n-m 个球排成一排,然后将 m 个挡板放到 n-m 个球之间去,使得任意两个挡板都不相邻.
n-m 个球之间,有 n-m+1 个位置可放挡板.
挡板不相邻,等价于：n-m+1 个位置中的每个位置只能放一个挡板.
所以就是从 n-m+1 个位置中选出 m 个放挡板.
所以,方法数是：C(n-m+1, m)
其中,C(a,b) 代表 a 个元素里取 b 个的组合数.
我们这道题里,n=12,m=3,所以方法数就是：
C(12-3+1,3) = C(10,3) = 120